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pour comprendre une telle theorie ou une theoreme il faut qu'on pratique ça sur le monde reel ou bien sur une economie interessee
et voici une application sur la gestion de risque d'une portefeuille et connaitre pourquoi on utilise la variance pour les etudiants de S5
Gestion du risque : la variance d'un portefeuille
Variance d'un portefeuille
Variance passée
La variance passée d'un portefeuille peut se calculer aisément. Il suffit pour ce faire de calculer un historique des valeurs liquidatives du portefeuille, puis de calculer la variance de ses variations, comme si il s'agissait du cours d'une action. Vous pouvez pour ce faire vous référer au calcul de la variance.
Variance future
Si nous pouvions calculer avec certitude la variance future d'un portefeuille, nous serions riches. Toutefois, si cet objectif reste inaccessible, on peut par contre calculer la variance d'un portefeuille à partir de la proportion et de la variance attendue de chaque titre qui le compose.
La variance d'un portefeuille est alors donnée par la formule suivante, plus imposante que complexe, rassurez-vous :
où :
Xi est la quantité de l'avoir i.
σi2 est l'écart-type des variations de l'avoir i.
Yj est la quantité de l'avoir j.
Ci,j est la covariance entre variations des avoir i et j.
On démontre que la variance d'un portefeuille est tout simplement la somme des covariances de tous les avoirs qui le composent, pris deux à deux et pondérées par la proportion de chaque avoir dans le portefeuille.
Pour la calculer, il suffit donc de prendre tous les avoirs du portefeuille deux à deux, de calculer leur covariance, de la multiplier par la proportion dans le portefeuille des deux avoirs et d'ajouter tous les résultats entre eux. Pour ce faire, on s'appuie en général sur une matrice de variances-covariances. La suite de cette page va vous montrer comment la construire et l'utiliser.
Matrice de variances-covariances
Le tableau ci-dessous représente une matrice de variances-covariances pour un portefeuille de n titres.
Exemple d'application
En imaginant que le portefeuille soit le suivant :
En remplaçant les proportions Xi et Yj par leurs valeurs numériques, la matrice devient :
En prenant les variations des douze derniers mois pour base de calcul des variances-covariances :
Cela nous donne, une fois les variances et covariances calculées :
Il nous reste alors à effectuer les calculs, puis à faire la somme des variances-covariances :
La somme des variances-covariances de chaque ligne donne la variance mensuelle du portefeuille : ici 0,0044538.
La racine carrée de cette variance est l'écart-type des variations mensuelles attendues du portefeuille, soit 0,0667365.
Si l'on souhaite obtenir l'écart-type annuel attendu des variations du portefeuille, il suffit de multiplier ce résultat par la racine carrée de 12, ce qui nous donne 0,2311819, soit 23,11% ce qui est pratiquement identique à celui du CAC40.
Vous savez maintenant calculer le risque attendu d'un portefeuille. Vous pourrez ainsi constater qu'en modifiant les proportions des différentes valeurs dans le portefeuille, on peut modifier le risque attendu du portefeuille.
Ainsi, par exemple, avec des proportions de 10%, 10%, 40%, 10% et 30% au lieu des 10%, 20%, 30%, 15% et 25% de l'exemple précédent, on obtient un portefeuille présentant un risque de 19,86% au lieu de 23,11%.
On va ainsi pouvoir jouer sur les proportions des valeurs dans le portefeuille pour essayer de baisser au maximum son risque, mais tous ces calculs sont un peu rébarbatifs. L'idéal est donc de s'en décharger sur une feuille de calcul.
SALEM
et voici une application sur la gestion de risque d'une portefeuille et connaitre pourquoi on utilise la variance pour les etudiants de S5
Gestion du risque : la variance d'un portefeuille
Variance d'un portefeuille
Variance passée
La variance passée d'un portefeuille peut se calculer aisément. Il suffit pour ce faire de calculer un historique des valeurs liquidatives du portefeuille, puis de calculer la variance de ses variations, comme si il s'agissait du cours d'une action. Vous pouvez pour ce faire vous référer au calcul de la variance.
Variance future
Si nous pouvions calculer avec certitude la variance future d'un portefeuille, nous serions riches. Toutefois, si cet objectif reste inaccessible, on peut par contre calculer la variance d'un portefeuille à partir de la proportion et de la variance attendue de chaque titre qui le compose.
La variance d'un portefeuille est alors donnée par la formule suivante, plus imposante que complexe, rassurez-vous :
où :
Xi est la quantité de l'avoir i.
σi2 est l'écart-type des variations de l'avoir i.
Yj est la quantité de l'avoir j.
Ci,j est la covariance entre variations des avoir i et j.
On démontre que la variance d'un portefeuille est tout simplement la somme des covariances de tous les avoirs qui le composent, pris deux à deux et pondérées par la proportion de chaque avoir dans le portefeuille.
Pour la calculer, il suffit donc de prendre tous les avoirs du portefeuille deux à deux, de calculer leur covariance, de la multiplier par la proportion dans le portefeuille des deux avoirs et d'ajouter tous les résultats entre eux. Pour ce faire, on s'appuie en général sur une matrice de variances-covariances. La suite de cette page va vous montrer comment la construire et l'utiliser.
Matrice de variances-covariances
Le tableau ci-dessous représente une matrice de variances-covariances pour un portefeuille de n titres.
| Titre 1 | Titre 2 | Titre 3 | ... | Titre n | |
| Titre 1 | X12 σ12 | X1Y2C1,2 | X1Y3C1,3 | ... | X1YnC1,n |
| Titre 2 | X2Y1C2,1 | X22 σ22 | X2Y3C3,3 | ... | X2YnC2,n |
| Titre 3 | X3Y1C3,1 | X3Y2C3,2 | X32 σ32 | ... | X3YnC3,n |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| Titre n | XnY1Cn,1 | X5Y2C5,2 | X5Y3C5,3 | ... | Xn2 σn2 |
En imaginant que le portefeuille soit le suivant :
| Crédit Lyonnais | 10% |
| France Télécom | 20% |
| Lafarge | 30% |
| Saint-Gobain | 15% |
| Total Fina Elf | 25% |
| Titre 1 10% | Titre 2 20% | Titre 3 30% | Titre 4 15% | Titre 5 25% | |
| Titre 1 10% | 0,1 * 0,1 * σ12 | 0,1 * 0,2 * C1,2 | 0,1 * 0,3 * C1,3 | 0,1 * 0,15 * C1,4 | 0,1 * 0,25 * C1,5 |
| Titre 2 20% | 0,2 * 0,1 * C2,1 | 0,2 * 0,2 * σ22 | 0,2 * 0,3 * C3,3 | 0,2 * 0,15 * C2,4 | 0,2 * 0,25 * C2,5 |
| Titre 3 30% | 0,3 * 0,1 * C3,1 | 0,3 * 0,2 * C3,2 | 0,3 * 0,3 * σ32 | 0,3 * 0,15 * C3,4 | 0,3 * 0,25 * C3,5 |
| Titre 4 15% | 0,15 * 0,1 * C4,1 | 0,15 * 0,2 * C4,2 | 0,15 * 0,3 * C2,3 | 0,15 * 0,15 * σ42 | 0,15 * 0,25 * C4,5 |
| Titre 5 25% | 0,25 * 0,1 * C5,1 | 0,25 * 0,2 * C5,2 | 0,25 * 0,3 * C5,3 | 0,25 * 0,15 * C5,4 | 0,25 * 0,25 * σ52 |
| Août 2001 | -1,75% | -32,88% | 2,31% | 0,31% | 0,06% |
| Septembre 2001 | -19,84% | -2,04% | -10,42% | -10,65% | -9,34% |
| Octobre 2001 | 12,28% | 19,79% | 10,34% | 2,30% | 5,76% |
| Novembre 2001 | -3,50% | 6,34% | 3,85% | 5,44% | -8,65% |
| Décembre 2001 | -0,03% | 1,81% | 2,34% | 4,05% | 12,56% |
| Janvier 2002 | -0,27% | -17,22% | -6,01% | -2,36% | 1,56% |
| Février 2002 | 2,14% | -18,08% | 0,91% | 8,46% | 4,30% |
| Mars 2002 | 14,29% | 15,34% | 3,02% | 4,23% | 4,18% |
| Avril 2002 | 7,21% | -23,23% | 2,73% | 1,56% | -4,97% |
| Mai 2002 | -3,48% | -22,96% | 3,70% | 0,00% | -0,77% |
| Juin 2002 | -3,94% | -54,60% | -7,51% | -4,32% | -1,50% |
| Juillet 2002 | -8,27% | 55,89% | -11,09% | -32,94% | -10,28% |
| Crédit Lyonnais 10% | France Télécom 20% | Lafarge 30% | Saint-Gobain 15% | Total Fina Elf 25% | |
| Crédit Lyonnais 10% | 0,1 * 0,1 * 0,0076216 | 0,1 * 0,2 * 0,0011506 | 0,1 * 0,3 * 0,0040693 | 0,1 * 0,15 * 0,0049138 | 0,1 * 0,25 * 0,0034097 |
| France Télécom 20% | 0,2 * 0,1 * 0,0011506 | 0,2 * 0,2 * 0,0759968 | 0,2 * 0,3 * -0,0006770 | 0,2 * 0,15 * -0,0144404 | 0,2 * 0,25 * -0,0028619 |
| Lafarge 30% | 0,3 * 0,1 * 0,0040693 | 0,3 * 0,2 * -0,0006770 | 0,3 * 0,3 * 0,0040396 | 0,3 * 0,15 * 0,0049241 | 0,3 * 0,25 * 0,0022138 |
| Saint-Gobain 15% | 0,15 * 0,1 * 0,0049138 | 0,15 * 0,2 * -0,0144404 | 0,15 * 0,3 * 0,0049241 | 0,15 * 0,15 * 0,0109851 | 0,15 * 0,25 * 0,0040848 |
| Total Fina Elf 25% | 0,25 * 0,1 * 0,0034097 | 0,25 * 0,2 * -0,0028619 | 0,25 * 0,3 * 0,0022138 | 0,25 * 0,15 * 0,0040848 | 0,25 * 0,25 * 0,0043380 |
| Crédit Lyonnais 10% | France Télécom 20% | Lafarge 30% | Saint-Gobain 15% | Total Fina Elf 25% | Sous-Totaux||
| Crédit Lyonnais 10% | 0,0000762 | 0,0000230 | 0,0001221 | 0,0000737 | 0,0000852 | 0,0003803 |
| France Télécom 20% | 0,0000230 | 0,0030399 | -0,0000406 | -0,0004332 | -0,0001431 | 0,0024460 |
| Lafarge 30% | 0,0001221 | -0,0000406 | 0,0003636 | 0,0002216 | 0,0001660 | 0,0008326 |
| Saint-Gobain 15% | 0,0000737 | -0,0004332 | 0,0002216 | 0,0002472 | 0,0001532 | 0,0002624 |
| Total Fina Elf 25% | 0,0000852 | -0,0001431 | 0,0001660 | 0,0001532 | 0,0002711 | 0,0005325 |
| Total des variances-covariances, soit variance du portefeuille | 0,0044538||||||
| Ecart-type mensuel du portefeuille = racine carrée ( variance ) | 0,0667365||||||
| Ecart-type annuel du portefeuille = ecart-type PF * racine carrée ( 12 ) | 0,2311819||||||
La somme des variances-covariances de chaque ligne donne la variance mensuelle du portefeuille : ici 0,0044538.
La racine carrée de cette variance est l'écart-type des variations mensuelles attendues du portefeuille, soit 0,0667365.
Si l'on souhaite obtenir l'écart-type annuel attendu des variations du portefeuille, il suffit de multiplier ce résultat par la racine carrée de 12, ce qui nous donne 0,2311819, soit 23,11% ce qui est pratiquement identique à celui du CAC40.
Vous savez maintenant calculer le risque attendu d'un portefeuille. Vous pourrez ainsi constater qu'en modifiant les proportions des différentes valeurs dans le portefeuille, on peut modifier le risque attendu du portefeuille.
Ainsi, par exemple, avec des proportions de 10%, 10%, 40%, 10% et 30% au lieu des 10%, 20%, 30%, 15% et 25% de l'exemple précédent, on obtient un portefeuille présentant un risque de 19,86% au lieu de 23,11%.
On va ainsi pouvoir jouer sur les proportions des valeurs dans le portefeuille pour essayer de baisser au maximum son risque, mais tous ces calculs sont un peu rébarbatifs. L'idéal est donc de s'en décharger sur une feuille de calcul.
SALEM
merci